,是AB边上的一点,E是在AC边上的一个动点(与A,C不重合),与射线BC相交于点F.(1)如图1,当点D是边AB的中点时,求证:;(2)如图2,当,求的值.【例3】已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2,P为AD上的一点,满足∠BPC=∠A.①求证;△ABP∽△DPC;②求AP的长.【变式1】如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么①当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;②当CE=1时,写出AP的长.【变式2】在梯形中,∥,,.点为边的中点,以为顶点作,射线交腰于点,射线交腰于点,联结.(1)求证:△∽△;(2)若△是以为腰的等腰三角形,求的长;(3)若,求的长.【作业】1、如图,在中,,,,是边的中点,为边上的一个动点,作,交射线于点.设,的面积为.(1)求关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(2)如果以、、为顶点的三角形与相似,求的面积.2、如图,已知在△ABC中,AB=AC=6,BC=5,D是AB上一点,BD=2,E是BC上一动点,连结DE,并作,射线EF交线段AC于F.(1)求证:△DBE∽△ECF;(2)当F是线段AC中点时,求线段BE的长;(3)联结DF,如果△DEF与△DBE相似,求FC的长.3、已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且BC=6,AB=DC=4,点E是AB的中点.(1)如图,P为BC上的一点,且BP=2.求证:△BEP∽△CPD;(2)如果点P在BC边上移动(点P与点B、C不重合),且满足∠EPF=∠C,PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M,那么:①当点F在线段CD的延长线上时,设BP=,DF=,求关于的函数解析式,并写出函数的定义域;②当时,求BP的长.
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