个实对称矩阵A正定A的特征值全大于零;Р(5)一个实对称矩阵A正定A的主子式全大于零;Р(6)A,B是实对称矩阵,则?正定A,B均正定;Р(7)A实对称矩阵,A正定正定矩阵B,使得A=,(k为任意正整数)Р正定矩阵的这些性质,可以用来判定某些实对称矩阵不是正定矩阵。Р二次型化为标准形通常有两种方法:Р1)配方法再通过非退化线性变化化为标准形;Р2)用相应矩阵的特征值、特征向量,再将该矩阵化为标准形;Р3)合同矩阵.Р例1 Р解:的矩阵为A=Р 以下为合同变换过程:Р Р Р因此D=,C=Р令X=CY,得=Р第3章正定二次型的判定及应用Р3.1 正定二次型的判定Р定理 3.1.1实二次型是正定二次型的充要条件是的规范形为Р定理 3.1.2 实二次型是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于Р证明设实二次型经线形替换化为标准形Р Р其中由于为可逆矩阵所以不全为零时也不全为零反之亦然. Р如果是正定二次型那么当不全为零即不全为零时有Р Р若有某个比方说则对这组不全为零的数代入式后得这与是正定二次型矛盾因此必有即的正惯性指数等于Р如果的正惯性指数等于则于是当不Р全为零即当不全为零时式成立从而是正定型Р定理3.1.3实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵与单位矩阵合同Р定理3.1.4实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵是实可逆矩阵Р证明实二次型是正定二次型,则由定理4可知存在可逆矩阵使得Р则Р令则Р若Р则Р令Р则Р所以为正定二次型.Р定理3.1.5实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵的主子式全大于零Р证明实二次型是正定二次型,以表示的左上角阶矩阵,下证考虑以为矩阵的二次型Р Р由于所以当不全为零时,由正定二次型可知从而为正定二次型,故Р对二次型的元数作数学归纳法Р当时因为所以正定假设且对元实二次型结论成立Р由于用乘的第1列到第列,再用乘第的第1行到第行经此合同变换后可变为以下的一个矩阵
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