个邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于的点都有(或),则称函数在点有极大值(或极小值).极大值、极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.定义2.3(条件极值)函数在个约束条件下的极值称为条件极值.通常情况下条件极值可以转化为无条件极值有如下命题.命题2.1函数在条件下的条件极值可以转化为无条件极值的充分必要条件是由所确定的显函数,当的取值范围为的定义域中相应的部分时,这个函数的值总存在.例2.1求函数在限制条件下的极值.解问题转化为求在的无条件极值从,解得稳定点,即在内部无极值.在边界上,在处取最小值,在边界上,在处取最小值.即在及处取极小值.3多元函数极值的判定方法3.1无条件极值的判定方法对于二元函数的极值有如下判别方法.命题3.1.1(必要条件)若函数在点的某领域内偏导数存在,且点是其极值点,则.命题3.1.2(充分条件)设点是函数的驻点,且在点的某领域内有二阶连续偏导数存在.记则1)当时,点不是函数的极值点;2)当时,若,则点是函数的极小值点,若,则点是函数的极大指点;3)当时,该方法不能判断其是不是极值点.注对于二阶导数存在的二元函数的极值,这两个命题能解决绝大多数的我们碰到的问题(除了的情形).对于二元以上的函数极值的判定,我们可以将这命题3.1.1和命题3.1.2推广到二元以上的函数中去.得到多元函数极值的判定方法如下.对于函数的极值有如下判定方法.命题3.1.3(必要条件)若元函数在点存在偏导数,且在该点取得极值,则有注使偏导数都为的点称为驻点,但驻点不一定是极值点.命题3.1.4(充分条件)设元函数在附近具有二阶连续偏导数,且为的驻点.那么当二次型正定时,为极小值;当负定时,为极大值;当不定时,不是极值.记,并记,它称为的阶矩阵.对于二次型正负定的判断有如下命题:命题3.1.5若,则二次型是正定的,此时为极小值;若,则二次型是负定的,此时为极大值.
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