(6);(7);(8).4.设是闭集,是开集,证明是闭集,是开集.5.证明开集的余集是闭集.6.设是平面点集.证明是的聚点的充要条件是中存在点列,满足且.7.用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理.8.用致密性定理证明柯西收敛原理.9.设是平面点集,如果集合的任一覆盖都有有限子覆盖,则称是紧集.证明紧集是有界闭集.10.设是平面上的有界闭集,是的直径,即.求证:存在,使得.11.仿照平面点集,叙述维欧氏空间中点集的有关概念(如邻域、极限、开集、聚点、闭集、区域、有界以及一些基本定理等).12.叙述并证明三维空间的波尔察诺-魏尔斯特拉斯致密性定理.§2多元函数的极限与连续性1.叙述下列定义:(1);(2);(3);(4).2.求下列极限(包括非正常极限):(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11);(12);(13);(14).3.讨论下列函数在点的全面极限和两个累次极限:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8).4.叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理.5.叙述并证明存在的柯西收敛准则.6.试作出函数,使当时,(1)全面极限和两个累次极限都不存在;(2)全面极限不存在,两个累次极限存在但不相等;(3)全面极限和两个累次极限都存在.7.讨论下列函数的连续范围:(1);(2);(3);(4);(5)(6)(7);(8)(9).8.若在某区域内对变量连续,对变量满足利普希茨条件,即对任意和,有,其中为常数,求证在内连续.9.证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和一致连续性定理.10.设二元函数在全平面上连续,,求证:(1)在全平面有界;(2)在全平面一致连续.11.证明:若分别对每一变量和是连续的,并且对其中的一个是单调的,则是二元连续函数.12.证明:若是有界闭域,是上的连续函数,则是闭区间.
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