关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用

∠AEB=90º,故构造“一线三垂直”模型,如图。过点C作CP⊥EB,交EB延长线于点P,连接OP。则根据“一线三垂直”模型的性质,△AEB≌△BPC,∴BP=AE;∵∠AOB=∠AEB=90º,∴A、E、B、O四点共圆(详见“四点共圆”在解题中的妙用(一)),∴∠BEO=∠BAO=45º;同理∠BPO=∠BCO=45º,故△EOP为等腰直角三角形;∵EO=3√2,∴EP=6,BP=4,根据勾股定理,AB²=16+4=20,即S正方形ABCD=20,S△AEB=4×2÷2=4,∴S五边形AEBCD=20+4=24.关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用(三)【例5】已知△ABC中,∠ACB=90º,AC=BC,CD为AB边上的中线,点E为BC边上任意一点(不与A、D、B重合),BF⊥CE于点F,交CD于点G,AH⊥CE,交CE延长线于点H,交CD延长线于点M。求证:(1)CG=AE;(2)DE=DM。【提示】(1)根据“一线三垂直”模型,△ACH≌△CBF,∴∠ACE=∠CBG,又∠CAE=∠BCG=45º,AC=BC,∴△ACE≌△BCG;(2)由“一线三垂直”模型可知,∠ACE=∠CBG,BF=CH,∴∠HCM=∠FBE,又∠BFE=∠CHM=90º,∴△CHM≌△BFE,BE=CM,从而DE=DM。同时我们也应该注意到:△ACM≌△CBE;△ADM≌△CDE≌△BDG;△AHE≌△CFG;DM=DG=DE;△GEM为等腰直角三角形等。构造“一线三垂直”模型,是作辅助线常用的一种手段。【例6】如图,直线l1∥l2∥l3,且l1到l2的距离为3,l2到l3的距离为4,等腰直角△ABC的直角顶点C在l2上,点A、B分别在l1、l3上。求△ABC的面积。【提示】过点C作l2的垂线,分别交l1和l3于点D、E,构造“一线三垂直”模型,则CD=3,AD=CE=4,AC=5.