《二次型的几何分类及其应用》

,使得;的全部特征值皆小于零;的奇数阶顺序主子式为小于零,而偶数阶主子式为大于零[3],即。判别二次型的正定性。解二次型的矩阵为根据定理3.1.1,知为正定二次型。的几何描述如图4。图4的三维切面图例3.1.2判别二次型的正定性。解二次型的矩阵为根据定理3.1.2,知为负定二次型。的几何描述如图5。图5三维切面图半正定二次型和半负定二次型定义3.2.1设实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数,都有,称该二次型为半正定二次型,且称矩阵为半正定矩阵。如果对于任意一组不全为零的实数,都有,称该二次型为半负定二次型,且称矩阵为半负定矩阵。二次型半正定与半负定的几何描述如图6(二元二次型)。图6二元半正定(左图),二元半负定(右图)定理3.2.1对于实二次型,下列条件等价:是半正定的;的标准型是;存在可逆实矩阵,且;存在实矩阵,使得;的全部特征值皆大于或等于零;的所有主子式皆大于或小于零。定理3.2.2对于实二次型,下列条件等价[3]:是半负定的;存在实矩阵,使得;的全部特征值皆小于或等于零;的奇数阶主子式皆小于或等于零,而偶数阶主子式皆大于或等于零[3],即。3.3不定二次型定义3.3.1设实二次型,如果既不是正定的,也不是负定的,则称该二次型为不定二次型。判定二次型的正定性。解易知所给二次型为不定二次型,其几何描述如图7。图7时的几何图形判定二次型的正定性。解易知所给二次型为不定二次型,其几何描述如图8。图8二次型理论在二次曲面分类上的应用4.1理论分析二次曲面方程的一般形式[4]为(5)令,,,则上述方程可以写为(6)其中就是一个二次型。由于是实对称矩阵,所以存在正交矩阵,使得这里,,为的特征值(均为实数)作正交变换,其中,式(6)化为(7)令,则(7)式化为(8)若都不为零,配方得:(9)那么,经过平移后式(9)可简化为(10)其中。下面对(10)式进行讨论。由(10)式得