函数 专题五 利用导数证明不等式 教案

定理的条件.故在上存在,使得,即,∴.由于的范围不易判断,于是求.∴在上单调递减,,即,∴.小结:拉格朗日中值定理本身是以等式的形式存在的,利用它证明不等式时,根据在内的取值可以估计的取值范围,从而得到要证的不等式.在具体操作时,若要证的不等式不含函数改变量和自变量,通过对不等式变形,凑出和,关键是准确选择函数,以及区间.同时在确定时,可利用导数有关知识,如求二阶导数.2.利用积分中值定理:若在闭区间内连续,则在内至少存在一点,使得.一般方法:构造辅助函数据积分中值定理得等式由的范围确定范围得所证不等式.【例4】(13湖北理)设,为正有理数.证明:.证明:,,为正有理数,则在区间上满足积分中值定理的条件,故在上存在,使得,即.又∵,为正有理数,∴,∴.同理可证,∴.【针对练习5】积分中值定理证明不等式:.分析:,可见可用积分中值定理构造函数,来处理.证明:设,则在区间上满足积分中值定理的条件,故在上存在,使得,即.又因,于是有,即.三、用凹凸性证明不等式:我们知道,在内,若,则函数的图形下凸,即位于区间中点处弦的纵坐标不小于曲线的纵坐标,即有:,其中,内任意两点.等号仅在时成立.在内,若,则函数的图形上凸,即位于区间中点处弦的纵坐标不小于曲线的纵坐标,即有:,其中,内任意两点.等号仅在时成立.一般方法:构造辅助函数→判定凹凸性→得所证不等式.【例1】设,,证明不等式,且等号仅在时成立.分析:将不等式两边同时除以2,变形为为,便可看出,左边是函数在两点,处的值的平均值,而右边是它在中点处的函数值,这时只需即可得证.证明:设,即,,故函数在是下凸的.由下凸函数性质,,,得,即,等号仅在时成立.【针对练习1】证明:.证明:令,则,,∴函数在是凹的,据凹凸性的定义可知,对任意的,,有,即.Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse