圆O相切,则椭圆C的离心率为________.解析:先将参数方程与极坐标方程化为普通方程,再根据直线过焦点、直线与圆相切建立关于椭圆方程中a,b,c的等式,再结合a2=b2+c2求得离心率.由已知可得椭圆标准方程为+=1(a>b>0).由ρsin=m可得ρsinθ+ρcosθ=m,即直线的普通方程为x+y=m,又圆的普通方程为x2+y2=b2,不妨设直线l经过椭圆C的右焦点(c,0),可得c=m.又因为直线l与圆O相切,所以=b,因此c=b,即c2=2(a2-c2),整理,得=,故椭圆C的离心率为e=.答案:5.如图,自双曲线x2-y2=1上一动点Q引直线l:x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN中点P的轨迹方程.解析:设点Q的坐标为(secφ,tanφ),(φ为参数).∵QN⊥l,∴可设直线QN的方程为x-y=λ.①将点Q的坐标代入①得:λ=secφ-tanφ.所以线段QN的方程为x-y=secφ-tanφ.②又直线l的方程为x+y=2.③由②③解得点N的横坐标xN=.设线段QN中点P的坐标为(x,y),则x==,④4×④-②得3x+y-2=2secφ.⑤4×④-3×②得x+3y-2=2tanφ.⑥⑤2-⑥2化简即得所求的轨迹方程为2x2-2y2-2x+2y-1=0.6.已知曲线C的方程为(1)当t是非零常数,θ为参数时,C是什么曲线?(2)当θ为不等于(k∈Z)的常数,t为参数时,C是什么曲线?(3)两曲线有何共同特征?解析:(1)将原参数方程记为①,将参数方程①化为平方相加消去θ,得+=1.②因为(et+e-t)2>(et-e-t)2>0,故方程②的曲线为椭圆,即C为椭圆.(2)将方程①化为平方相减消去t,得-=1.③所以方程③的曲线为双曲线,即C为双曲线.(3)在方程②中2-2=1,则c=1,椭圆②的焦点坐标为(-1,0),(1,0),因此椭圆和双曲线有共同的焦点.
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