种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.?(1)求a的值;?(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【导学号:79170071】?[解] (1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,a=2.?5分?(2)由(1)可知,该商品每日的销售量为y=+10(x-6)2,?所以商场每日销售该商品所获得的利润为?f(x)=(x-3)?=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. 7分?从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6),?于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(3,4)4(4,6)f′(x)+0-f(x)单调递增极大值42单调递减?由上表可得,x=4时,函数f(x)取得极大值,也是最大值,?9分?所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.?即当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.12分?[规律方法] 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤?(1)设自变量、因变量,建立函数关系式y=f(x),并确定其定义域;?(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;?(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;?(4)回归实际问题作答.[变式训练2] 某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则速度应定为________.?40 [由y′=x2-39x-40=0,?得x=-1或x=40,?由于0<x<40时,y′<0;?x>40时,y′>0.?所以当x=40时,y有最小值.]
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