高三数学培优专题5三角形中的最值或范围问题

cosC所以cosC=,从而C=60故=sin(60+A)所以当A=30时,的最大值是变式2.已知半径为R的圆O的内接⊿ABC中,若有2R(sinA—sinC)=(a—b)sinB成立,试求⊿ABC的面积S的最大值。解:根据题意得:2R(—)=(a—b)*化简可得c=a+b—ab,由余弦定理可得:C=45,A+B=135S=absinC=2RsinA*2RsinB*sinC=sinAsin(135—A)=(sin(2A+45)+1∵0<A<135∴45<2A+45<315∴当2A+45=90即A=15时,S取得最大值。类型二:利用重要不等式来解决例2(13年重庆中学)在中,角A,B,C的对边分别为且.(1)若,且<,求的值.(2)求的面积的最大值。解(1)由余弦定理,∴∴,又∵<,解方程组得或(舍).∴(2)由余弦定理,∴∵∴,又∴即时三角形最大面积为变式3.在⊿ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,⊿ABC的外接圆半径R=,且=(1)求B和b的值;(2)求⊿ABC面积的最大值解:由已知=,整理可得:sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB即sin(B+C)=2sinAcosB∵A+B+C=π∴sinA=2sinAcosB∵sinA≠0∴cosB=∴B=60∵R=,∴b=2RsinB=2sin60=3,故角B=60,边b=3由余弦定理得b=a+c-osB即9=a+c-os60∴9+ac=a+c≥2ac(当且仅当a=b时取等号)即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)∴三角形得面积s=acsinB≤*9*sin60=∴三角形得面积的最大值是变式4:⊿ABC中,若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是答案:解法1.由a=2,c=1,∴a=2c∴2sinA=4sinC∴sinC=sinA≤∵0<C<A∴0<C≤30解法2.cosC===(b+)≥,故0<C≤30