的最小值是 .答案解析 sinA+ sinB=2sinC,由正弦定理得a+ b=2c.由余弦定理得cosC= = = ≥ ,当且仅当a= b时取等号,故cosC的最小值是 .1-3 在△ABC中,已知tanA=3tanB,则A-B的最大值为 .答案解析 tan(A-B)= = = ≤ = ,当且仅当tanB= ,B= 时取等号.又A,B都是锐角,则- <A-B< ,故A-B的最大值是 .题型二三角形中面积的最值或取值范围例2 在△ABC中,AB=2,AC= BC,则△ABC面积的最大值为 .答案 2解析以AB所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,?则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC= BC,得(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2],化简得(x-3)2+y2=8,即为点C的轨迹方程,当C(3,±2 )时,△ABC的面积取得最大值为2 .【方法归纳】 已知三角形的一条边长(即三角形有两个顶点固定)、与第?三个顶点有关的条件,求相关的最值问题时,通常利用轨迹思想可以简化运?算,即建立适当的直角坐标系,求出第三个顶点的轨迹方程,再结合轨迹的特?征直接求解最值或建立目标函数,根据函数的特征选择基本不等式、导数等?方法求解最值.2-1 在△ABC中,已知AB=2,AC2-BC2=6,则tanC的最大值是 .答案解析以AB所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,?则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC2-BC2=6得(x+1)2+y2-(x-1)2-y2=6,化简得x= ,即点C的轨迹方程是x= (y≠0).不妨设y>0,直线与x轴的交点为D,∠ACD=α,∠BCD=β,则tanC=tan(α-β)= = ≤ = ,当且仅当y= 时取等号,故tanC的最大值是 .
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