三角形中位线定理及逆定理的证明

线定理成立.方法二:相似法:∵D是AB中点∴AD:AB=1:2∵E是AC中点∴AE:AC=1:2又∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2∠ADE=∠B,∠AED=∠C∴BC=2DE,BC∥DE方法三:坐标法:设三角形三点分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)则一条边长为:根号(x2-x1)^2+(y2-y1)^2另两边中点为((x1+x3)/2,(y1+y3)/2),和((x2+x3)/2,(y2+y3)/2)这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2最后化简时将x3,y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半方法四:延长DE到点G,使EG=DE,连接CG∵点E是AC中点∴AE=CE∵AE=CE、∠AED=∠CEF、DE=GE∴△ADE≌△CGE(S.A.S)∴AD=CG、∠G=∠ADE∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG∵点D在边AB上∴DB∥CG∴BCGD是平行四边形∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立[2]方法五:向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2[3]∴DE//BC且DE=BC/23逆定理逆定理一:在三角形内,与三角形的两边相交,平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。如图DE//BC,DE=BC/2,则D是AB的中点,E是AC的中点。逆定理二:在三角形内,经过三角形一边的中点,且与另一边平行的线段,是三角形的中位线。如图D是AB的中点,DE//BC,则E是AC的中点,DE=BC/2三角形的中位线证明:取AC中点E',连接DE',则有AD=BD,AE'=CE'∴DE'是三角形ABC的中位线∴DE'∥BC又∵DE∥BC∴DE和DE'重合(过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行)∴E是中点,DE=BC/2