三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方

、长截短”,这种辅助线的作法还可以用于证明线段和、差、倍、分等方面。Р证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略:Р1,  长截短:要证明一条线段等于另外两条线段的和与差,可在长线上截取一部分等于另两条线段中的一条Р,然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。(角也亦然)Р2,  短延长:要证明一条线段等于另外两条线段的和与差,可先延长较短的一条线段,得到两条线段的和,然后再证明其与长的线段相等。(角也这样)Р3,  加倍法:要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2,可加倍延长线段,延长后使之为其2倍,再证明与另一条线段相等。(角也这样)Р4,  折半法:要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2,也可取长线段的中点,再证明其中之一与另一条线段相等。(角也可用)Р5,  代数运算推理法:这种方法是利用代数运算证明线段或角的和、差、倍、分。Р6,  相似三角形及比例线段法:利用相似三角形的性质进行推理论证。Р题1(短延长):如图所示,在正方形ABCD中,P、Q分别为BC、CD上的点。Р (1)若PAQ=45°,求证:PB+DQ=PQ。Р (2)若△PCQ的周长等于正方形周长的一半,求证:PAQ=45°Р Р 证明:(1)延长CB至E,使BE=DQ,连接AE。Р ∵四边形ABCD是正方形Р ∴ABE=ABC=D=90°,AB=ADР 在△ABE和△ADQ中Р ∵AB=AD,ABE=D,BE=DQР Р Р (2)延长CB至E,使BE=DQ,连接AEР 由(1)可知Р Р题2(长截短):如图,在△ABC中,∠B=2∠C,∠A的平分线AD交BC于D。求证:AC=AB+BDР证明:在AC上截取OA=AB,连接OD,Р ∵∠3=∠4,AD=ADР∴△ABD≌△AOD,∴ BD=DOР∴∠B=∠1=∠2+∠C= 2∠CР∴∠2=∠C Р∴ OD=OC=BDР∴ AC=OA+OC=AB+BD