:A.2:1B.3:1C.4:3D.3:2分析:由上述结论易得:,所以,故选D当把这些点特定为三角形的“四心”时,我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。引申:设点在内部,且角所对应的边分别为结论1:若为重心,则分析:重心在三角形的内部,且重心把的面积三等分. 结论2:为内心,则分析:内心在三角形的内部,且易证S△BOC:S△COA:S△AOB= 结论3:为的外心,则分析:易证S△BOC:S△COA:S△AOB=sin2A:sin2B:sin2C. 由结论3及结论:为的外心,为的垂心,则可得结论4。结论4:若为垂心,则即证明:∵对任意有,其中为外心,为垂心, ∴, 则由平面向量基本定理得:存在唯一的一组不全为0的实数,使得,即,由结论3得:所以有:,所以可得: 化简后可得: 应用举例:例1:已知为的内心,且,则角的余弦值为。分析:由结论2可得,所以由余弦定理可得:例2:已知的三边长为,设的外心为,若,求实数的值。分析:,整理后即得:. 由结论3可得:,又易得, ∴.点评:此题的通用解法应该是构造与基底相关的如下方程组:解方程组可得结果。例3:设是的垂心,当时,,求实数的值. 分析:由结论4可得: . 而,整理后得:由,可得,∴. 而,解得, ∴.点评:此题的通用解法应该是仿例2的点评,构造与基底相关的方程组。通过这样的思考、探究,不仅得到了与三角形的“四心”相关的有用结论,更为重要的是对提高发现问题和解决问题的能力有很大帮助,正契合了新课标对学生能力的要求。所以在平时的教学中要注意引导学生经常做一些类似的思考与探究,将极大地提高学生的数学素质及思维能力。设O是内任一点,以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立直角坐标系。并设显然不共线,由平面向量基本定理,可设则(ⅰ)若O是的内心,则故必要性得证.同时还可得到以下结论(ⅱ)若O是的重心,则故(ⅲ)若O是的外心则故
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