函数项数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳

更有即,仅当.羅如上所述,对每个点,可找到相应的领域及相应的,使得时,对恒有.袃如此{:}构成的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖,不妨记为{},于是,总使得),取,那么时,恒有,由定理5得在一致收敛于.莁定理6 判别法或优先级判别法或Weierstrass判别法虿设函数项级数定义在数集上,为收敛的正项级数,若对一切,有膆则函数项级数在上一致收敛.薃证明由假设正项级数收敛,根据函数项级数的Cauchy准则,,某正整数,使得当及任何正整数,有又由(3)对一切,有莂螈根据函数项级数一致收敛的Cauchy准则,级数在上一致收敛.蚅注:若能用从判定一致收敛,则必是绝对收敛,故判别法对条件收敛的函数项级数失效.莃例3 函数项级数在上一致收敛,因为对一切有,而正项级数是收敛的.膀推论2 设有函数项级数,存在一收敛的正项级数,使得对于有,则函数项级数在区间一致收敛膀证明已知,即有即,从而,又因为收敛,则也收敛,由判别法得函数项级数在区间一致收敛.肅由广义调和级数,当时收敛,故当=时,有肄推论设有函数项级数,若存在极限且,则函数项级数在区间一致收敛.芁证明函数项级数在是一致收敛的.芈证明对于,存在收敛的正项级数,且由的推论2与推论得,在一致收敛.螈定理7 比较判别法螄两个函数项级数与,若,当有(其中为正常数),且函数项级数在区间绝对一致收敛,则函数区间绝对一致收敛.莂证明已知在区间绝对一致收敛,即对(其中为正常数),莇及,有;又由条件知有;膈取当,有薅.肀由收敛级数一致收敛Cauchy准则知,函数项级数在区间一致收敛,从而函数项级数在区间绝对一致收敛.蝿定理8 若有函数级数与,,有(其中为正常数),且函数项级数在区间一致收敛,则函数区间绝对一致收敛.蚇证明已知,有(其中为正常数).芅又函数项级数在区间绝对一致收敛,即,膁有;袈取当有肆肅芃从而函数项级数在区间绝对一致收敛.芀推论3 比较极限法