2???xfxfn成立。因此,当NnNm??,和Xx?时,恒有????2???xfxfm????2???xfxfn成立,所以,恒有???????xfxfnm成立。再证充分性对于任意0??,由已知,存在自然数N,当NnNm??,时,恒有????2???xfxfnm成立。于是,对于任一Xx?0,当NnNm??,时,恒有?????????200xfxfnm成立,根据柯西收敛准则,数列????0xfn收敛,那么,函数列????xfn在X上收敛,不妨设收敛于??xf。因此,对任意自然数n和Xx?,都有????????xfxfxfxfnnmm?????lim,根据数列极限的性质,存在自然数N,当Nn?,和Xx?时,对任意自然数p,都有????????xfxfnpn成立。1.2.2函数列一致收敛的性质定理]2[4设????xfn与????xgn在点集X上分别一致收敛于??xf与??xg,则??????xgxfnn?在X上一致收敛于????xgxf?。定理]3[5设????xfn与????xgn在点集上分别一致收敛于??xf与??xg,且????xfn与????xgn均在X上有界,则??????xgxfnn在X上一致收敛于????xgxf,且????xgxf在X上有界。定理]1[6设????xfn在点集X上一致收敛于??xf,又??xg在X有界,则??????xgxfnn在X上一致收敛于????xgxf。例如,???????nx1ln在????,0内一致收敛于xln,而xcos在????,0内有界,根据定理5,?????????????xnx1cos1ln在????,0内一致收敛于xx1cosln。并且,本定理当中的??xg在X上有界,也是不能缺少的。定理]5[7设????xfn在点集X上一致收敛于0,又????xgn在X上往后一致有界,则函数列??????xgxfnn在X上一致收敛于0.
全文预览