件下,依测度收敛弱于几乎处处收敛.Р有以上定理黎斯又给出了一个用几乎处处收敛来判断依测度收敛的充要条件:Р设,是上的可测函数列,那么依测度收敛于的充要条件是:的任何子列中必可找到一个几乎处处收敛于的子序列.Р证明(必要性) 由于依测度收敛于,由定义知道这时的的任何子序列必也依测度收敛于,由黎斯定理可知中必存在几乎处处收敛于的子序列.Р(充分性) 如果不依测度收敛于,即存在一个,使得Р不趋于0.因此必有子序列,使得Р这样就不可能再有子序列几乎处处收敛于了,否则由勒贝格定理知将有依测度收敛于,即Р这与上式矛盾,所以依测度收敛于.Р应用依测度收敛在概率统计中有重要的意义,如例3;它也是证明中心极限定理的重要依据,由中心极限定理我们可以知道用一个正态分布来模拟一个样本容量较大的样本的概率分布, 从而简化了大样本概率分布的处理和计算[7].Р结束语:Р上述定义中的各种收敛的极限函数都是唯一的,而且从本文还可以知道一致收敛是最强的收敛,它蕴含了点点收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等上述几种收敛.各种收敛都有不同的意义,在各种实践中作用也各不同.Р参考文献:Р[1]马克思主义基本原理概论教材编写课题组.马克思主义基本原理概论[M].高等教育出版社,2009,7Р[2] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].高等教育出版社,2001,6.Р[3] 郭懋正.实变函数与泛函分析[M].北京大学出版社,2005,2Р[4] 柳藩,钱佩玲.实变函数论与泛函分析[M].北京师范大学出版社,1987.Р[5] 程其襄,张奠宙,魏国强等.实变函数与泛函分析既基础[M].高等教育出版社,2003,7.Р[6] 夏道行,严绍宗等复旦大学数学系主编.实变函数与应用泛函分析基础[M].上海科学技术出版社.1987.Р[7] 茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社,2004,7.
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