,又在定义域上是单调递增的.Р所以有:,当且仅当时等号成立.Р另一方面,Р. Р即:.又在定义域上是单调递增的. Р所以有:,当且仅当时等号成立.Р综上所述有:.Р当且仅当时等号成立.Р注意:利用函数的凹凸性证明不等式时,一定要注意构造或者引进我们所需要的辅助函数,使条件和结论、已知与未知建立联系.Р4.1.2 凹凸函数不等式的积分形式Р定理设是上的可积函数且,是上的连续凸函数,则:(如果是凹函数,则不等式反向).Р例题7 设为上的正值连续函数,Р证明:.Р证明令,由上述定理得:Р .即得证.Р例题8设在上连续可导,.若,证明:Р.Р证明由,可得,进而得到,所以.由函数凹凸性的充要条件知为凸函数. Р所以有:.Р又,所以.Р另一方面,由Hadamard不等式:设函数是上连续的凸函数,对任意的,有:Р,得.Р即:,又,所以在为单调增函数,所以有:Р, 即.综上所述, 即有:Р.Р小结:利用函数凹凸性证明不等式虽然有一定的局限性,但是它却能够避免一些繁杂的解题过程,大大的简化解题步骤,是其它方法不能达到的.利用函数凹凸性证明不等式的解题关键是构造合适的辅助函数,能够使问题和已知的条件联系起来,只有这样才能达到预期的效果.Р4.2 函数凹凸性在求函数最值中的应用Р通过观察不等式的证明,我们可以发现,如果不等式的一边是常数的话,那么不等式的证明就演变成了求函数的最值问题,我们就可以利用函数的凹凸性来求函数的最值,从而就可以避免繁杂的化简、转化、变形等过程.若能够灵活运用函数的凹凸性解题,可达到事半功倍的效果.Р例题9 设,试求的最小值.Р解析如果采用一般的解题方法,我们就会发现很难找到问题的突破口,但是如果我们采用函数的凹凸性去思考,再结合着题目的表达形式,就很容易联想到琴生(Jensen)不等式,问题就迎刃而解了.Р解设,则,.所以为凹函数,由琴生(Jensen)不等式,得:Р.
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