一致收敛性及应用-大学生毕业论文（设计）

成立。于是,对于任一 Xx? 0,当 NnNm??, 时,恒有?????????2 00xfxf nm 成立,根据柯西收敛准则,数列???? 0xf n 收敛,那么,函数列???? xf n在X 上收敛,不妨设收敛于?? xf 。因此,对任意自然数 n 和Xx?,都有???????? xfxfxfxf nnmm????? lim , 根据数列极限的性质,存在自然数 N ,当 Nn?,和 Xx?时,对任意自然数 p ,都有????????xfxf npn 成立。 1.2.2 函数列一致收敛的性质定理]2[4 设???? xf n与???? xg n在点集 X 上分别一致收敛于?? xf 与?? xg ,则?????? xgxf nn?在X 上一致收敛于???? xgxf?。定理]3[5 设???? xf n与???? xg n在点集上分别一致收敛于?? xf 与?? xg ,且???? xf n与???? xg n均在 X 上有界,则?????? xgxf nn在X 上一致收敛于???? xgxf ,且???? xgxf 在X 上有界。定理]1[6 设???? xf n在点集 X 上一致收敛于?? xf ,又?? xg 在X 有界,则?????? xgxf nn在X 上一致收敛于???? xgxf 。例如, ???????n x 1 ln 在????,0 内一致收敛于 x ln ,而 x cos 在????,0 内有界,根据定理 5,?????????????xn x 1 cos 1 ln 在????,0 内一致收敛于 x x 1 cos ln 。并且,本定理当中的?? xg 在X 上有界,也是不能缺少的。定理]5[7 设???? xf n 在点集 X 上一致收敛于 0 ,又???? xg n在X 上往后一致有界,则函数列?????? xgxf nn在X 上一致收敛于 0.