一致收敛性及应用毕业论文

恒有Р成立,故对于任何的,都有Р成立,根据定义,在上一致收敛于。Р必要性Р,由于在上一致收敛于,故存在自然数,当时,,都有Р成立,因此有Р成立,依据定义Р。Р定理Р 在点集上一致收敛于的充分必要条件是对任意数列Р,都有Р。Р证明:必要性Р任取,则对任意自然数,都有Р成立,又由已知定理1,Р再依据数列极限的性质,可知Р充分性(反证法)Р假设在上不一致收敛于,即存在,对任意自然数,都存在和,使Р成立,对于,存在,和,使Р成立,对于存在和,使Р成立,…,对于,存在和,使Р成立,…Р现在取,使得。于是,Р对任意自然数k,均有Р成立。由此可以知道,不收敛于0,而它是的子列,根据数列与其子列的关系定理,Р不收敛于0,这与已知相矛盾。Р定理Р在点集上一致收敛的充分必要条件是对任意,都存在自然数,当时,恒有Р成立。Р证明:先证必要性Р 对任意,因为在上一致收敛,不妨设收敛于,于是,存在自然数,当时,恒有Р成立。因此,当和时,恒有Р成立,所以,恒有Р成立。Р再证充分性Р对于任意,由已知,存在自然数,当时,恒有Р成立。于是,对于任一,当时,恒有Р成立,根据柯西收敛准则,数列收敛,那么,函数列在上收敛,不妨设收敛于。因此,对任意自然数和,都有Р,Р根据数列极限的性质,存在自然数,当,和时,对任意自然数,都有Р成立。Р1.2.2 函数列一致收敛的性质Р定理Р 设与在点集上分别一致收敛于与,则在上一致收敛于。Р定理Р 设与在点集上分别一致收敛于与,且与均在上有界,则在上一致收敛于,且在上有界。Р定理Р设在点集上一致收敛于,又在有界,则在上一致收敛于。Р例如,在内一致收敛于,而在内有界,根据定理5,在内一致收敛于。并且,本定理当中的在上有界,也是不能缺少的。Р定理Р设在点集上一致收敛于0,又在上往后一致有界,则函数列在上一致收敛于0.Р定理Р设与在上分别一致收敛于与,且在上有界,又存在,使对任意,都有