路.Р例3定长为4的线段AB的端点A、B在抛物线上移动,求线段AB的中点M到轴的距离的最小值,并求出此时AB的中点M坐标.Р解析:设F是抛物线的焦点,过A、B、M分别作准线的垂线AC、BD、MN,垂足分别为C、D、N,则Р|MN|=(|AC|+|BD|),Р由抛物线的定义知,|AC|=|AF|,|BD|=|BF|,Р∴|MN|=(|AF|+|BF|)=2,Р设M的横坐标为,则|MN|=,则2,∴,Р当AB过F点时等号成立,此时点M到轴的距离最短为.Р点评:解本题的关键在于利用抛物线的定义将焦半径转化为到准线的距离.Р三、解与焦半径有关的问题Р例4已知抛物线上一点M到焦点F的距离为2,求点M的坐标.Р分析:本题是抛物线上一点到焦点的距离问题可利用抛物线的定义转化为到准线的距离问题处理.Р解析:设M,由得,,∴准线方程为,Р∴点M到准线的距离为,Р由抛物线的定义知=2,解得,代入解得,Р∴点M的坐标为.Р点评:本题也可以设出M点坐标,求出焦点坐标,利用两点距离公式构造方程组求解,但过程复杂,抛物线定义是解决抛物线上一点到焦点距离的有效工具.Р例5已知抛物线,过抛物线的焦点斜率为2的直线交抛物线于A、B两点,求线段|AB|的长.Р分析:过焦点的弦长问题可以利用抛物线的定义结合根与系数关系解决,也可利用弦长公式处理.Р解析:设点A、B的横坐标分别为,,Р抛物线的焦点为F(1,0),准线为,Р∴点A、B到准线的距离分别为,,Р根据抛物线的定义知,|AF|=,|BF|=,Р∴|AB|=|AF|+|BF|=+=Р直线AB的方程为:,代入化简整理得,,Р∴=3,∴|AB|=3+2=5.Р点评:圆锥曲线的弦长问题通常将曲线方程与直线方程联立转化为关于或的一元二次方程,利用根与系数的关系与弦长公式=或=(其中是直线AB的斜率,,).抛物线过焦点弦AB长公式为=(其中,分别为点A、B的横坐标).
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