各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理与四点共圆)

→②→③→①可见A、B、P、C共圆. 证明二:如图,若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆,有∠PBN=∠PLN=∠PLM=∠PCM. 故A、B、P、C四点共圆。若A、B、P、C四点共圆,则∠PBN=∠PCM。因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆,有∠PBN=∠PLN=∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三点共线。相关性质的证明连AH延长线交圆于G, 连PG交西姆松线与R,BC于Q 如图连其他相关线段 AH⊥BC,PF⊥BC==>AG//PF==>∠1=∠2 A.G.C.P共圆==>∠2=∠3 PE⊥AC,PF⊥BC==>P.E.F.C共圆==>∠3=∠4 ==>∠1=∠4 PF⊥BC ==>PR=RQ BH⊥AC,AH⊥BC==>∠5=∠6 A.B.G.C共圆==>∠6=∠7 ==>∠5=∠7 AG⊥BC==>BC垂直平分GH ==>∠8=∠2=∠4 ∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==>∠9=∠10 ==>HQ//DF ==>PM=MH 第二个问,平分点在九点圆上,如图:设O,G,H分别为三角形ABC的外心,重心和垂心。则O是,确定九点圆的中点三角形XYZ的垂心,而G还是它的重心。那么三角形XYZ的外心O1,也在同一直线上,并且 HG/GO=GO/GO1=2,所以O1是OH的中点。三角形ABC和三角形XYZ位似,那么它们的外接圆也位似。两个圆的圆心都在OH上,并且两圆半径比为1:2 所以G是三角形ABC外接圆和三角形XYZ外接圆(九点圆)的"反"位似中心(相似点在位似中心的两边),H是"正"位似中心(相似点在位似中心的同一边)...所以H到三角形ABC的外接圆上的连线中点必在三角形DEF的外接圆上....圆幂定理圆幂定理