理Р知识导航Р塞瓦定理:如果的三个顶点与一点的连线、、交对边或其延长线于点、、,如图,那么.通常称点为的塞瓦点.Р证明: ∵直线、分别是、的梅氏线,Р∴,.Р两式相乘即可得:.Р塞瓦定理的逆定理:如果点、、分别在的边、、上或其延长线上,并且,那么、、相交于一点(或平行).Р Р证明: ⑴若与相交于一点时,如图,作直线交于.Р由塞瓦定理得:,Р又已知,∴,Р∴,∴.Р∴与重合Р∴与重合Р∴、、相交于一点.Р⑵若与所在直线不相交,则∥,如图.Р∴,又已知,Р∴,即.Р∴,∴.Р 说明:三线平行的情况在实际题目中很少见.Р探索提升Р(1)设是的三条中线,求证:三线共点.Р(2)若为的三条内角平分线.求证:三线共点.Р(1)由条件知,.∴,Р根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线共点.Р这个点称为这个三角形的重心.Р(2)由三角形内角平分线定理得:.Р三式分别相乘,得:.Р根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线共点,Р这个点称为这个三角形的内心.Р若分别为锐角的三条高线,求证:三线共点.Р由得:;由得:;Р由可得:.所以.Р根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线共点.Р对直角三角形、钝角三角形,同样也可以证得三条高线共点.我们把一个三角形三条高线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心.Р如图, 为内的一点,与交于点,与交于点,若通过的中点,求证:.Р对和点应用塞瓦定理可得:.又因为,所以.进而,所以. Р如果梯形的两腰、的延长线交于,两条对角线交于.求证:直线必平分梯形的两底.Р∵Р∴Р∴Р∵(由塞瓦定理得)Р∴,∴Р∵,∴.Р板块三梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合Р非常挑战Р【备选】如图,、分别为的、边上的点,且,,Р、交于点,的延长线交于点.求的值.Р∵为的塞瓦点.Р∴Р∴,∴.Р∵为的梅氏线,Р∴Р∴Р【备选】如图,四边形的对边和,和分别相交于点,对角线与交于点.直线与、分别交于点.Р求证:.
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