应用四点向量定理与斯坦纳定理解题

A=AB=a,试求异面直线MB与AC所成的角.Р例4(2016年浙江高考)如图4,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3, CD=1 , AD=,.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是______.Р图4Р解析:由四点向量定理得:,即.设与的夹角为(显然为锐角,即异面直线与所成角也是),则,当最小时,与所成角的余弦值最大.又即,所以在翻折过程中的最小值为(此时△ACD沿直线AC翻折),的最大值为.Р图5Р点评此题以四点向量定理、斯坦纳定理及上面提到的不变量()为背景,考查了线线角,向量夹角及函数思想.只要得到,与的函数关系立刻就显现出来,的最大值就不攻自破.与传统作辅助线方法相比,难度与计算量都下降了很多.Р变式5(2015年10月浙江学考)如图5,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,线段AD,BD的中点分别为E,F.现将△ABD沿对角线BD翻折,则异面直线BE与CF所成角的取值范围是( )Р?A. B. РC. D. Р4 求二面角Р图6Р下面再来看看用四点向量定理如何求解二面角.Р例5(2015年浙江高考)如图6,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD,所成二面角A′­CD­B的平面角为α,则( )РA.∠A′DB≤α B.∠A′DB≥αРC.∠A′CB≤α D.∠A′CB≥αР 解析如图6,作A′F⊥CD于F,BE⊥CD于E,D是AB的中点,故DE=DF.由题意得,则Р,而,从而再考虑到余弦函数在上的单调性,,选B.Р点评关键是∠A′DB等于的夹角,平面角α等于的夹角,然后再用四点向量定理解决两角余弦值的大小问题.Р 参考文献:Р[1]刘才华.如何应用四点向量定理[J].数理天地(高中版),2016(5):5-7.Р[2]邓赞武.余弦定理的向量式及其应用[J].数学通讯,2006(13):17-18.