各种圆定理总结[包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理及四点共圆]

、L、N和РM、P、L、C分别四点共圆,有Р ∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. Р 故A、B、P、C四点共圆。Р 若A、B、P、C四点共圆,则∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆,有Р ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. Р 故L、M、N三点共线。Р相关性质的证明Р 连AH延长线交圆于G, Р 连PG交西姆松线与R,BC于Q Р 如图连其他相关线段Р AH⊥BC,PF⊥BC==>AG//PF==>∠1=∠2 Р A.G.C.P共圆==>∠2=∠3 Р PE⊥AC,PF⊥BC==>P.E.F.C共圆==>∠3=∠4 Р ==>∠1=∠4 Р PF⊥BC Р ==>PR=RQ Р BH⊥AC,AH⊥BC==>∠5=∠6 Р A.B.G.C共圆==>∠6=∠7 Р ==>∠5=∠7 Р AG⊥BC==>BC垂直平分GH Р ==>∠8=∠2=∠4 Р ∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==>∠9=∠10 Р ==>HQ//DF Р ==>PM=MH Р 第二个问,平分点在九点圆上,如图:设O,G,H 分别为三角形ABC的外心,重心和垂心。Р 则O是,确定九点圆的中点三角形XYZ的垂心,而G还是它的重心。Р 那么三角形XYZ的外心 O1, 也在同一直线上,并且Р HG/GO=GO/GO1=2,所以O1是OH的中点。Р 三角形ABC和三角形XYZ位似,那么它们的外接圆也位似。两个圆的圆心都在OH上,并且两圆半径比为1:2 Р 所以G是三角形ABC外接圆和三角形XYZ外接圆(九点圆)的"反"位似中心(相似点在位似中心的两边),H 是"正"位似中心(相似点在位似中心的同一边)... Р所以H到三角形ABC的外接圆上的连线中点必在三角形DEF的外接圆上.... Р圆幂定理Р圆幂定理