立几中唯一性的证明

α内过H点作a的垂线l,AH与l确定平面N,在平面N内过A点作AO⊥l于O,∵a⊥AH, a⊥l,∴a⊥平面N,故a⊥AO,又AO⊥l, ∴AO⊥平面α..Р(2) 点A在平面α内.可先取面外任一点作已知平面的垂线,再过A点作该垂线的平行线.Р唯一性:假设过点A有两条直线AB、AC都垂直于平面,由于AB、AC为相交直线,不妨设AB、AC所确定的平面为,与的交线为l,则必有AB⊥l,AC⊥l,又由于AB、AC、l都在平面内,这样在内经过A点就有两条直线和直线l垂直,与平面几何中经过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直矛盾.Р5. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.Р证明: 存在性证明分点在直线上和直线外,略.唯一性:假设过点A有两个平面与都垂直于已知直线l,则由垂直于同一直线的两个平面平行,可得与平行,这与和有公共点A矛盾.Р6. 经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行.Р已知:Aα,A∈β,β∥α.求证:β是唯一的.Р证:设l过A点,且l⊥α,这样的直线是唯一的.Р又β∥α,则β⊥l,过点A与α平行的平面一定和l垂直.Р∵过点A和直线l垂直的平面是唯一的.Р∴过点A和α平行的平面是唯一的.Р说明:由2或作垂线均可推出同平行于一平面的两平面平行.Р7. 已知a,b是两条异面直线,求证:经过a有且只有一个平面与b平行.Р存在性: 在a上任取一点A,A与b确定平面α,在α内过A作b′∥b.Р则a、b′是相交直线,∴a, b′确定平面β,则β∥b.Р唯一性:如果过a有两个不同的平面β和γ与b平行,则这两个平面交线为a,Р而b与这两个平面都平行,则b与这两个平面对交线a平行,这与a,b异面矛盾.Р8.已知a和b是两条异面直线,求证:过a且平行b的平面必平行于过b且平行于a的平面.Р已知:a,b是异面直线,aα,bβ,a∥β,b∥α..求证:α∥β.Р证:过b作平面与平面α交于b′