二次函数在求解几何最值问题中的应用

MN,当BM= cm时,的面积最大,最大面积为 cm2. Р 图5 Р 解析:设BM=xcm,则MC=(1-x)cm. Р ∵∠AMN=90°,∠AMB+∠NMC=90°,∠NMC+∠MNC=90°, Р ∴∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC. Р ∴△ABM∽△MCN,∴■=■,即■=■,=x(1-x). Р ∴=■×1×[1+x(1-x)]= Р -■x2+■x+■=-■(x-■)2+■. Р ∵-■<0, Р ∴当x=■cm时,最大,最大值是■cm2. Р 例6 (2012湖南株洲)如图6,在△ABC中,∠C=90°,BC=5米,AC=12米.M点在线段CA上,从C向A运动,速度为1米/秒;同时N点在线段AB上,从A向B运动,速度为2米/秒.运动时间为t秒. Р (1)当t为何值时,∠AMN=∠ANM? Р (2)当t为何值时,△AMN的面积最大?并求出这个最大值. Р 图6 Р 分析:(1)用t表示出AM和AN的值,根据AM=AN,得到关于t的方程,求出t值即可. Р (2)作NH⊥AC于H,证明△ANH∽△ABC,从而得到比例式,然后用t表示出NH,从而计算△AMN的面积得到有关t的二次函数,最后求出最值即可. Р 解:(1)∵M点从C向A运动,速度为1米/秒;同时N点在线段AB上,从A向B运动,速度为2米/秒,运动时间为t秒, Р ∴AM=12-t,AN=2t. Р ∵∠AMN=∠ANM,∴AM=AN,即12-t=2t,解得t=4 秒. Р ∴当t为4秒时,∠AMN=∠ANM. Р (2)如图6,作NH⊥AC于H,∴∠NHA=∠C=90°.∴NH∥BC. Р ∴△ANH∽△ABC. Р ∴■=■,即■=■.∴NH=■t. Р ∴S△AMN=■?(12-t)?■t=-■t2+■t=-■(t-6)2+■. Р ∴当t=6秒时,△AMN的面积最大,最大值为■平方米.