判断出这个函数某在一点可微,那至少在这一点的局部范围内我们就可以找到一个最简单好算、我们最熟悉的线性函数来近似表示它,从而成功地将复杂转化为简单、将未知转化为已知,所以这种化繁为简、用已知表示未知的思想使得我们能够用我们已经具备的知识和方法来探索我们未知的领域和世界。因此,微分所体现出的这种局部线性化的思想是整个高等数学的核心思想。Р问题3:从引例中可以看出,函数微分中的常数恰好是函数在相应点的导数值,那么函数微分与导数之间是否存在关系呢?Р四、可微的条件Р定理:Р证:(1) 必要性Р(2) 充分性Р ()Р举例:Р Р思考:Р 结论——故当Р知识延展:本节“化繁为简、近似替代的思想”在进一步提高精度的要求下,函数可以用多项式函数近似表示,这就扩展为泰勒公式。这一部分知识将在第三章第三节介绍。Р问题4:从定理可得函数可导性与可微性是等价的,那么导数和微分有何不同之处呢?它们的意义如何体现?Р五、微分与导数的区别Р上图是微积分理论的两位创始人——英国的数学家牛顿和德国的数学家莱布尼茨,他们为了解决不同的实际问题,从不同的角度切入,殊途同归,各自用不同的体系和方法独立完成了微积分的理论研究工作。这正体现出了微分与导数的区别。留待下次课再详细讨论。Р内容小结:Р1、函数微分的定义Р2、可微的条件Р3、微分与导数的关系Р4、微分所体现的局部线性化思想Р作业:P123-124 3Р(五)教学总结Р1、引出微分定义时,注意让学生了解这是出于对具体实际问题求解的需要;Р2、微分与导数的关系密切,导数刻画函数变化的快慢,微分刻画函数变化的大小,所以需要向学生强调二者不同的问题背景和代表涵义,还要让学生能够深刻理解可微与可导之间的等价关系,不至于混淆;Р3、在本节课的教学中,特别注意要给学生强调微分所体现的局部线性化思想,因为这是化繁为简思想的一个重要体现,并且是整个高等数学课程的核心思想。
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