数学分析学期论文函数的微分

,记作,即。可证A=即。定义2设函数在点的某领域内有定义,给变量在处一个增量,且时,相应地函数有增量如果其增量可表示为,其中A,B不依赖于,则称函数在点处二阶可微,并称,为函数在点处的一阶微分、二阶微分,记作,即,。可证即,。根据以上形式,我们可以借助第五章的泰勒公式来定义函数的更高阶的微分定义3设函数在点的某领域内有定义,给变量在处一个增量,且时,相应地函数有增量如果其增量可表示为,其中A,B不依赖于,则称函数在点处n阶可微,并称为函数在点处的一阶微分、二阶微分……n阶微分,记作,……,即,……,。又根据函数在点的泰勒公式,得即,……,所以,,……,。注:1.在泰勒公式中与是等价的。2.因为是的高阶无穷小量,所以,在等式的右边加或减去一个都不会影响到的精确度。二、微分的运算法则1.;2.;3.;4.复合函数的微分例求的二阶微分。解:。对于一般函数,其n阶微分可表示为.对于复合函数的一阶微分,也可表示为,并称这种形式为一阶微分的形式不变性。但是,复合函数的高阶微分不在具有形式不变性。对于复合函数,有当且仅当=0时,函数具有形式不变性。此时,只可能有。而对于复合函数,只是的一种形式,即:在复合函数中,二阶以上可微,就有。当时,有。而此时,有所以,复合函数的高阶微分不在具有形式不变性。注:式中的一定三阶可微。三、参数方程的微分在找到高阶微分的又一定义及讨论了复合函数的高阶微分后,我想讨论一下参数方程的微分。解参数方程{的二阶微分。解:因为,,所以,,。有(1)、(2)可知参数方程和复合函数有相似的性质,即:参数方程也具有一阶微分的形式不变性和高阶微分不在具有形式不变性。例:设,求.解:因为,,所以,,。参考文献数学分析习题集解,吉米多维奇原著,费定晖等编著,山东大学出版社,2005.论如何加强数学人才在求职中的优势,杨汉春,张庆,高等理科教育,No.4(2003):22-26.