,,从而Р。即当函数和都满足第一、二、三类边界条件,,其中,,为自伴算符。Р 设是自伴算符,则方程称为自伴算符的特征值问题。Р自伴算符的特征值问题具有下列几个重要的性质:Р性质1 自伴算符的特征值必然存在Р性质2 自伴算符的特征值必为实数Р性质3 自伴算符的特征函数具有正交性,即对应不同特征值的特征函数一定正交Р设是自伴算符的两个不相等的特征值,对应的特征函数分别为,则Р,从而有,,将该两式相减,有,因为,必有。这就证明了特征函数的正交性。Р性质4 自伴算符的特征函数(的全体)构成一个完备函数组,即任意一个在区间中有连续二阶导数,且满足和自伴算符相同的边界条件的函数,均可按特征值函数Р展开为绝对而且一致收敛的级数,其中Р只证明性质3,其他的性质就不给出详细的证明了。Р3、正交归一函数系Р 设是内的一个函数族。如果,只要Р,则说函数族是上的一个正交系。此外,如果每个的范数都是1,则说是上的正交归一函数系。Р4、不等式与系数的性质Р:设在上是正交归一的,并假定。在上定义两个函数列如下:Р,其中是任意的实数。于是,对于每个,我们有,等号成立当且仅当,Р=Р于是Р同理可得Р =Р = 且等号成立当且仅当,引理得证Р(不等式)设在上是正交归一的,并假定,,则级数收敛且满足不等式。Р令中的,则有,并注意到上式左边是非负的,从而有,两边取,则有。不等式得证。这个定理同时也说明了函数级数展开的系数与函数本身之间的关系。Р5、叠加原理Р叠加原理:如果和是线性微分方程的解,则任意线性组合也是该线性微分方程的解,其中,是任意的常数。进一步地,如果和满足一个线性齐次边界条件,则也满足该边界条件。Р下面我们以一维波动方程为例来介绍分离变量法在数学物理方程中的应用。Р三、一维波动方程的分离变量法Р1、一维齐次波动方程分离变量法的步骤Р1.1第一类齐次边界条件齐次方程的分离变量法的步骤Р考察初边值问题:
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