虽然有无限多个使|成立,但它忽视了对每一个,都必须存在某个自然数N,即数列的某一项,从以后的所有项都必须满足存在反例:对任意正数,有无限多个在0的邻域内内;但是中从哪一项开始,其后总有不包含在内的项。1.2关于单调有界数列收敛的定理逆命题的反例单调有界数列收敛定理是数学分析中的一个重要定理,但是,它的逆命题收敛数列必单调有界是否成立呢?答案是否定的,因为存在反例:收敛,但是不单调的数列比如:其极限但是对于任意正整数k,都有即所以,数列并不单调既然存在收敛,但是不单调的数列,是否存在单调但不收敛的数列呢,这个反例很容易找,比如:,单调增加,但是不收敛;,单调减少,亦不收敛。从单调性出发考虑此逆命题存在反例,如果从有界性考虑呢,是否也有类似的反例?反例:发散的有界数列显然对一切n,都有,显然有界,但是该数列并不收敛。以上三个反例都说明,该命题并不是充分必要的,只是充分不必要条件。1.3关于数列收敛四则运算法则的反例在判断数列是否收敛时,运用四则运算法则,并不是机械的对极限加减乘除。而是需要考虑它们每一项的收敛与否。且有:特别当为常数c时:若再设两个数列发散,但是其和可能收敛,如有反例显然这两个数列都是发散的,但是数列却是收敛的。两个数列一个发散、一个收敛,但是其积可能收敛,如有反例因为:则发散的,是收敛的,但是数列却是收敛的。两个数列发散,但是其积可能收敛,如有反例显然这两个数列都是发散的,但是数列却是收敛的。两个数列发散,但是其商可能收敛,如有反例显然这两个数列都是发散的,但是数列却是收敛的。1.4有界变差数列逆命题的反例关于数列收敛中有界变差数列必收敛这一论断,我们引入有界变差数列的定义。定义:对于数列,存在常数M,使得则称这个数列是有界变差的但是,它的逆命题收敛数列是有界变差数列并不成立:存在反例:令,则有:于是,按照Cauchy收敛准则,收敛。但是因此不是有界变差数列。
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