T的方向总是沿着弦的切线方向。且张力T是一个常数,它与位置x?和时间t?均无关。通过分析作用在小弦段?上的力是:(1)作用在?点上的张力T,它在u?轴方向上的分力为?(2)作用在M点上的张力T,它在u?轴方向的分力为?(3)作用在?上,垂直于x?轴的外力为?,其中?是在点x?处的外力的线密度。设弦的密度为?,根据牛顿第二定律有?因?,故?当?时,有:?同理?代入上式得?应用中值定理得?其中?令?就得到弦的强迫横振动方程?其中?若外力消失,则得到弦的自由横振动方程?这样就导出?(?,)?所满足的偏微分方程。方程建立不仅适用弦振动,而且还适用力学上的弹性杆振动,管道中气体小扰动等等。3.2?热传导方程的建立[1]物理现象中的热传导和扩散在生活中常见。我们知道的有热量差的物体,就有热传导现象。浓度不同的溶液中,就有分子从浓度大的地方流向浓度小的地方。凡是由于物理量的密度不同而产生的运动,通称为扩散。在数学上,描述热传导规律和扩散规律的是同一种方程,人们把它作为研究抛物型方程的模型。在不少的生产实际问题中,经常需要考虑物体上各点的温度分布状态。我们考察一根均匀细杆内热量的传播的过程。设细杆的横截面积为常数A,又设它的侧面绝热,即热量只能沿长度方向传导,由于细杆很细,以至于在任何时刻都可以把横截面上的温度视为等同,因此,是一个一维情况。图3.2(热传导方程)如图3.2所示,取?轴与细杆重合,以?(?,)表示?点在时刻?的温度,问题就是要确定函数?(?,)。和建立弦振动方程一样,我们采用微元分析的办法来导出函数?(?,)所满足的偏微分方程。考查在时间间隔?到?内,细杆上?到?维元段的热量流动情况。此时应成立热平衡方程式,即:引起温度变化所吸取的热量?流入的热量?微元段的温度升高可以表示为:其中,于是,我们得知引起微元段?温度升高所需要的热量为另一方面,热传导理论中的付里叶实验定律告诉我
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