⑵当,且时,设点为平面内两条直线⑵的交点,引入变量代换即则方程组⑵可化为所以原方程组可化为上式是齐次方程,然后解方程,代回原变量,即可求得原方程的通解.⑶当且时,首先可以把原方程化成⑶引入变量代换,代入⑶,则原方程可化为上式为变量分离方程,然后解方程,代回原变量,即可求得原方程的通解.例解方程解:由题意可得方程组有解,作变换,代回原方程得这是个齐次方程,作变换,则上述方程可化为变量分离得两边积分得代回原变量,可得通解另外,,,即,也是方程的解,易见包含于通解中,而不被包含于其中.2.1.4 对于微分方程⑴其中为常数.以下分两种情况进行讨论:⑴当且时,设为面内两条相交直线⑵的交点.引入变量代换即所以,方程组⑵可化为所以,原方程⑴可化为上式为齐次方程,然后解方程,代回原变量,即可求得原方程的通解.⑵当且时,首先原方程变化为⑶引入变量代换,即,所以把上式代入方程⑶得:上式为变量分离方程,然后解方程,代回原变量,即可求得原方程的通解.例解方程解:原方程变形为⑴引入变量代换,即,所以把上式代入方程⑴得:把上式变量分离为:两边同时积分得:代回原变量,可得上式是原方程⑴的通解.此外,也是方程的解,即是方程的解,被包含在通解中.2.1.5 对于微分方程⑴其中为已知实数.引入变量代换,即,所以把上式代入方程⑴得:整理得:上式为变量分离方程,然后解方程,代回原变量,即可求得原方程的通解.例解方程解:将分别看作次变量时,要是方程左端是齐次式,则应该满足由此可解得.因此原方程是指标为的广义齐次方程.令,则,代入原方程整理得分离变量,再积分,整理得代回原变量,得原方程的通解2.1.6 对于一阶线性微分方程⑴当时,引入变量代换⑵所以⑶把上式代入方程⑴并整理可得:方程两边同时积分得:⑷把⑷代入⑵可得是方程⑴的通解.例解:令,原方程可化为:⑴先求线性齐次方程的通解,为设方程⑴的通解为,代入方程⑴并整理得:
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