))=(-y,x-y)也是方程的一组解,而且因x,y不同时为零,容易验证这三组解是不同的。(2)假设方程在n=2891时有一组解(x,y),则有+=3+2891=3+3×963+2…………①从而有+≡2(mod3)对于x,y有三种情况,(1);(2);(3)对于第一种情况,令x=3s,y=3t+2,s,t都是整数,代入①式得到3×963+2根据上式,左边≡8(mod9),右边≡2(mod9),矛盾,所以方程没有解。类似的后两种情况也无解,因此当n=2891时,此方程无解。例6(IMO,1986):设d为不等于2,5,13的任一整数,证明:在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a、b,使得ab-1不能构成一个完全平方数。证明:只需证明下列方程中至少有一个无解:2d-1=x,5d-1=y,13d-1=z,其中x,y,z为整数。假设上述三个方程都成立,则x为奇数,2d=x+1≡2(mod8),即d为奇数,故y,z为偶数。设z=2v,y=2u,且因=,得(v-u)(v+u)=2d,2|(v-u)(v+u)故v和u同是奇数或者同为偶数,则有4|(v-u)(v+u)=2d2|d由上述可知d为偶数,与d为奇数矛盾,故上述三式中至少有一个不是完全平方数,即命题成立。四.同余方程的应用同余方程是同余理论的核心内容,一次同余方程与一次同余方程组证明了著名的孙子定理,刻画了剩余系的整体性质;高于一次的同余方程在理论上至今也没有得到多少结果,二次同余方程、高次同余方程以及多元同余方程在中学数学竞赛中的应用很少,也比较困难,在此不做深入讨论,以下是同余方程在中学数学竞赛中的简单应用。现在我们分以下几个方面对同余方程在中学数学竞赛中的应用做出讨论:㈠同余方程简单应用在数学竞赛试题中出现一些应用题我们可以运用同余知识来解答十分简便,首先将问题转化为同余问题,列出同余方程直接解答,如以下两例:
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