Р在的各点上,振幅绝对值恒为最大,称为波峰(腹点),共有n个Р满足定解问题的级数解则是这些驻波的叠加,因此也称分离变量法为驻波法Р就两端点固定的弦来说,固有频率中有一最小值,即,称为基频,其他频率都是其倍数,称为倍频。Р实际例子:Р弦的基频决定了声音的音调。在弦乐器中,当弦的质料一定时,可以通过改变弦的绷紧程度,调解的大小。Р的相对大小,决定了声音的频谱分布,即决定了音色。Р和数与弦的能量成正比,决定了声音的强度。Р分离变量法举例Р例题1. 有一根长为10个单位的弦,两端固定,初速为零,初位移为,求弦作微小横振动的位移。Р解:设位移为,它的定解问题Р的解。给定,显然,这个问题的傅立叶级数解可由Р给出,其系数为Р因此,所求的解为Р例题2. 解定解问题Р解:运用分离变量可得Р将边界条件代入可得Р相应的特征值问题Р重复前面的解法,知当时,特征值问题有解,此时通解形式为Р代入边界条件得Р从而求得一系列特征值和特征函数Р与这些特征值相对应得的通解表示为Р于是,所求定解问题的形式解可表示为Р利用初始条件确定其中的系数得Р故所求的解为Р(第八讲)Р§2.2 有限杆上的热传导Р定解问题:一均匀细杆,长为,两端坐标为。杆的侧面绝热,且在端点处温度为零,而在处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为,求杆上的温度变化情况,即考虑下定解问题:Р仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1中步骤,设,代入上面的方程可得Р从而可得通解Р由边界条件知Р从而Р令Р上方程的解可以看作曲线,交点的横坐标,显然他们有无穷多个,于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根Р于是得到特征值问题的无穷个特征值
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