谈谈证明直线恒过点的几种方法

谈谈证明直线恒过点的几种方法临川二中周志如直线恒过点问题涉及解析几何的所有知识,综合性强,方法灵活,运算复杂,对能力要求高,在教学过程中总结了以下几种策略。1、特殊引路和找定点对于有些直线恒过定点的问题,可以先考虑动直线的特殊情况,找出定点P的位置,然后证明该点P在直线上,反映从特殊到一般的数学方法。例1:已知椭圆的右准线,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线上,且BC∥轴,求证AC经过定点。证明:如图1,设⊥轴,垂足为E,易求得F(1,0),E(2,0)xOABFNCEy当AB⊥轴时,过A作AD⊥,垂足为D点,则ABCD为矩形由椭圆的对称性可知,直线AC与轴相交于EF的中点N以下证明N即为直线AC所经过的定点当AB不垂直轴时,设直线AB的方程为,则且满足方程即∴又得∴的斜率分别为:∴x∴综上所述,直线AC经过定点N()2、逆用直线系方程过直线与直线的交点的直线系方程为=0(),反之,若直线的方程可表示为=0(),则必过由确定的定点。例2:设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点。已知OA⊥OB,求证:直线AB必过定点。yABO证明:设A(),B()∵OA⊥OB(如图2)∴即由于,直线AB的方程为:化简得:即:∴直线AB过定点()3、利用直线方程的定义直线的方程为,根据直线方程的定义,如果是方程的一个解,那么点在直线上,如果能根据已知条件求得一个等式并化简为(这里为定值),那么()为方程的一个解,从而点()是动直线上的点。例3:设A()是抛物线上的定点,已知B、C是抛物线上的两切点,若直线AB与AC的斜率之积为定值C,则直线BC必过定点。证明:设B,则两式相减得:若BC不与轴垂直,则,直线BC的方程为即:①则②化简整理:③比较①③得:是方程①的解∴直线BC过定点当BC⊥轴时,设由②式得即直线BC的方程为此时,直线BC也过定点综上所得:直线BC过定点