件,同时也是我们研究最值问题的有力武器。它使得最值问题具体化、动态化、形象化,能够更直观有效的解决问题。下面结合集体案例给出借助几何画板探究圆锥曲线中最值问题的构造过程及其设计流程。Р例5已知点是双曲线的左焦点,定点,是双曲线右支上动点,则的最小值为多少? 若圆锥曲线为椭圆或者双曲线,是否有最值,最值又为多少? . Р【制作目标】动态可视化的观察、猜想、通过转化观察出取得最值时点的特殊位置。Р【方法步骤】Р(1)构造线段、度量其距离并改标签为、。Р(2)绘制点、。Р(3)选择自定义工具中圆锥曲线A双曲线/椭圆(焦点+离心率),以、为焦点,为离心率构造曲线。Р(4)任取双曲线外一点,曲线右支上一点,连接、、,并度量其长度。计算的值,移动点观察随移动的值。Р图(6)Р设计意图:通过几何画板的直观性,通过移动点P可以直观的观察出的最小值,但是通过几何画板所得到的最小值并不能作为我们的结论,它存在一定的误差,且没有严格的说服理由。但他能为我们的解题提供可视化的猜想。当处于最小值时,点的位置有什么特殊吗?通过直观的观察,当点A在双曲线外部时,当处于最小值时,点、、位于通一条直线上,即图(6)所示。因此我们猜想当点、、共线时,的值最小。如何证明我们的猜想呢?我们要紧紧抓住三点共线,三点共线可以转化为代数关系的值最小,最终求得是的最小值,我们可以再次转化,==2a++,因此当点、、位于通一条直线上时,的值最小,即的值最小。当点在双曲线内部时,当点、、共线时,Р当曲线为椭圆时,只需改变线段的长度,即的大小。Р当A点在圆内时,当点P在椭圆上移动时,当点、、共线时,有最大值与最小值。如何证明猜想呢?这时我们也必须引导学生进行猜想与转化,==,当的值最小时,Р有最小值,=,即点、、共线且处于图(7)位置时。Р图(7)Р同理,当的值最大时,有最大值,=,即点、、共线且处于图(8)位置时。Р图(8)
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