);(3)由(2)得,由于数列的前项和无法求得,所以要先将进行缩放,然后再求值。当时,有,。Р(3)逐步缩放Р例10(2006年江西高考理22)已知数列满足:,且Р。Р(1)求数列的通项公式;Р(2)证明:对于一切正整数,有。Р分析与解:(1)将已知条件变形为,得数列是等比数列。利用等比数列的通项公式可得(过程略);(2)要证明,即要证明,可先证明(第一次缩放),再证明(第二次缩放),依次类推最后得到(最后一次缩放)这一过程可用数学归纳法证明,接下来用等比数列的求和公式计算就能证得结论。Р8.用函数的单调性证明不等式Р例11(06年浙江高考理20)已知函数,数列{}(>0)的第一项=1,以后各项按如下方式取定:曲线在处的切线与经过(0,0)和(,)两点的直线平行(如图)Р求证:当时,Р(1) ;Р(2)。Р分析与解:(1)利用导数的几何意义易证(过程略);(2)由(1)得,即,用累乘法得,又=1,,,又由(1)得,构造函数,当时,,此函数在区间上单调递增,于是可得,再用累乘法得,。Р9.用二项式定理证明不等式Р例12 已知数列满足,是的前项和,且。Р(1)求的通项; Р(2)证明:。Р分析与解:(1),又,代入整理得,再用累乘法求得通项公式(过程略),(2)因为,所以要证明的不等式是,把二项式展开得Р=。又显然,所以不等式成立。Р10.用数学归纳法证明不等式Р例13(2006年陕西高考理22)(有改动)已知函数,且存在,使。Р(Ⅰ)证明:是上的单调函数; Р(Ⅱ) 设,,,,其中Р证明:; Р分析与解:(1)因为,所以是上的递增函数。Р(2),,,,又是上的递增函数,,即,,,且,有,以下用数学归纳法证明,假设成立,则),即有成立,由归纳法原理得命题成立。
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