|=|OB|时,|AB|取最小值1;当或时,|AB|取最大值。Р例10 设一椭圆中心为原点,长轴在x轴上,离心率为,若圆C:1上点与这椭圆上点的最大距离为,试求这个椭圆的方程。Р[解] 设A,B分别为圆C和椭圆上动点。由题设圆心C坐标为,半径|CA|=1,因为|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1,所以当且仅当A,B,C共线,且|BC|取最大值时,|AB|取最大值,所以|BC|最大值为Р因为;所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,,t,椭圆方程为,并设点B坐标为B(2tcosθ,tsinθ),则|BC|2=(2tcosθ)2+=3t2sin2θ-3tsinθ++4t2=-3(tsinθ+)2+3+4t2.Р若,则当sinθ=-1时,|BC|2取最大值t2+3t+,与题设不符。Р若t>,则当sinθ=时,|BC|2取最大值3+4t2,由3+4t2=7得t=1.Р所以椭圆方程为。Р例11在平面直角坐标系上,给定抛物线:,实数、满足,,是方程的两根,记。Р⑴过点作的切线交轴于点。证明:对线段上的任一点,有;Р⑵设是定点,其中、满足,,过作的两条切线,,切点分别为,,、与轴分别交于、,线段上异于两端点的点集记为。证明:;Р⑶设,当点取遍时,求的最小值(记为)和最大值(记为)。Р解:⑴证明:由已知知点在上,过点的的切线的斜率为Р∴直线的方程为:Р设点Р∴Р∵为线段上的任一点Р∴Р∴方程,即方程的两根Р∴Р∵为线段上的任一点Р 当时,РⅠ当时Р此时Р∴РⅡ当时Р此时Р∴Р 当时,РⅠ当时Р此时Р∴?РⅡ当时Р此时Р∴Р综上所述,对线段上的任一点,有。Р⑵证明:Р由已知有直线的方程为:Р由已知有直线的方程为:Р∴Р解得Р 当时,Р由“⑴”有:Р 当时,Р由“⑴”有:Р综上所述,Р⑶当时,设过点的的切线的斜率为,其中为切点处的横坐标Р∴该切线方程为:Р∵为该切线上的点Р∴Р∵
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