密定理,得Р AD·BC=AB·DC+AC·BD,Р即 a2=c·+b·.Р 故aa'=bb'+cc'.Р练习题Р1. 作一个辅助圆证明:△ABC中,若AD平分∠A,则=.Р(提示:不妨设AB≥AC,作△ADC的外接圆交AB于E,证△ABC∽△DBE,从而==.)Р2. 已知凸五边形ABCDE中,∠BAE=3a,BC=CD=DE,∠BCD=∠CDE=180°-2a.求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.Р(提示:由已知证明∠BCE=∠BDE=180°-3a,从而A、B、C、D、E共圆,得∠BAC=∠CAD=∠DAE.)Р3. 在△ABC中AB=BC,∠ABC=20°,在AB边上取一点M,使BM=AC.求∠AMC的度数.Р(提示:以BC为边在△ABC外作正△KBC,连结KM,证B、M、C共圆,从而∠BCM=∠BKM=10°,得∠AMC=30°.)Р4.如图10,AC是ABCD较长的对角线,过C作РCF⊥AF,CE⊥AE.求证:AB·AE+AD·AF=AC2. Р(提示:分别以BC和CD为直径作圆交AC于点РG、H.则CG=AH,由割线定理可证得结论.)Р5. 如图11.已知⊙O1和⊙O2相交于A、B,直线РCD过A交⊙O1和⊙O2于C、D,且AC=AD,EC、ED分别切两圆于C、D.求证:AC2=AB·AE.Р(提示:作△BCD的外接圆⊙O3,延长BA交⊙O3Р于F,证E在⊙O3上,得△ACE≌△ADF,从而AEР=AF,由相交弦定理即得结论.)Р6.已知E是△ABC的外接圆之劣弧BC的中点.Р求证:AB·AC=AE2-BE2. Р(提示:以BE为半径作辅助圆⊙E,交AE及其延长线于N、M,由△ANC∽△ABM证AB·AC=AN·AM.)Р7. 若正五边形ABCDE的边长为a,对角线长为b,试证:-=1.Р(提示:证b2=a2+ab,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)
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