《高中数学联赛试题——立体几何》

球转化为圆柱与圆锥的组合体。显然,本题中的两个几何体符合祖暅原理的条件,比较其截面面积如下:Р取,则:Р当时:Р当时:Р显然,,于是有:。Р例十七、(2000年全国联赛一试)一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为,则这个球的体积是。Р分析:由正四面体的图象的对称性可知,内切球的球心必为正四面体的中心,球与各棱相切,其切点必为各棱中点,考查三组对棱中点的连线交于一点,即为内切球的球心,所以每组对棱间的距离即为内切球的直径,于是有: РRРOРEРDРCРAРPРBР ∴Р练习:同样可用体积法求出棱长为的正四面体的外Р接球和内切球的半径。分析可知,正四面体的内切球Р与外接球球心相同,将球心与正四面体的个顶点相连,Р可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥,于是可知内切球的半径即为正四面体高度的四分之一,外接球半径即为高度的四分之三。故只要求出正四面体的高度即可。Р又:,所以,。Р例十八、(1999年全国联赛一试)已知三棱锥S--ABC的底面为正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心,二面角H-AB-C的平面角等于30,SA=。那么,三棱锥S-ABC的体积为。РOРEРDРHРCРAРSРBР分析:在求解立体几何问题时,往往需要首先明白所要Р考查对象的图形特点。连接BH并延长交SC于D,连AD。Р∵H为SBC的垂心Р∴BD⊥SC, 且 HD⊥SC ,故 AD⊥SC ,SC⊥平面ABCР∴SC⊥ABР作SO⊥平面ABC于O,连接CO并延长交AB于E,易知:CE⊥AB,连DE。Р∵AB=ACР∴HB=HC,即A在平面SBC内的射影H在线段BC的垂直平分线上,而点H是SBC的垂心,可知SBC为SB=SC的等腰三角形。Р∴S在平面ABC内的射影O在线段BC的垂直平分线上。Р故射影O为ABC的中心,三棱锥S—ABC为正三棱锥。设底面边长为,则CE=,Р∵SA=SB=SC=