如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件________时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形).Р答案对角线互相垂直Р解析本题答案不唯一,要证A1C⊥B1D1,1,因为该四棱柱为直四棱柱,1,故只需证B1D1⊥A1C1即可.Р12.若-1<x<1,-1<y<1,求证:()2<1.Р证明要证明()2<1,只需证明(x-y)2<(1-xy)2,即x2+y2-2xy<1-2xy+x2y2,只需证明x2+y2-1-x2y2<0,只需证明(y2-1)(1-x2)<0,即(1-y2)(1-x2)>0(*).Р因为-1<x<1,-1<y<1,Р所以x2<1,y2<1.从而(*)式显然成立,所以()2<1.Р13.求证:抛物线y2=2px(p>0),以过焦点的弦为直径的圆必与x=-相切.Р证明(如图)作AA′、BB′垂直于准线,取AB的中点M,作MM′垂直于准线.Р只需证|MM′|=|AB|.Р由抛物线的定义:Р|AA′|=|AF|,|BB′|=|BF|,Р所以|AB|=|AA′|+|BB′|.Р因此只需证|MM′|=(|AA′|+|BB′|),Р根据梯形的中位线定理可知上式是成立的.Р所以以过焦点的弦为直径的圆必与x=-相切.Р三、探究与拓展Р14.已知a、b、c是不全相等的正数,且0<x<1.Р求证:logx+logx+logx<logxa+logxb+logxc.Р证明要证logx+logx+logx<logxa+logxb+logxc,Р只需证logx(··)<logx(abc).Р由已知0<x<1,得只需证··>abc.Р由公式≥>0,≥>0,Р≥>0.又∵a,b,c是不全相等的正数,Р∴··>=abc.Р即··>abc成立.Р∴logx+logx+logx<logxa+logxb+logxc成立.
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