为的雪堆开始融化的3小时内,融化了其体积的,问雪堆全部融化需要多少小时。Р解:设雪堆在时刻的体积,表面积为。Р由已知可得, Р,于是,由Р,又因为,,Р,雪球全部融化时,,即雪球全部融化需要6小时。Р6.有一房间容积为100,开始时房间空气中含有二氧化碳0.12%,为了改善房间的空气质量,用一台风量为10/分的排风扇通入含0.04%的二氧化碳的新鲜空气,同时以相同的风量将混合均匀的空气排出,求排出Р10分钟后,房间中二氧化碳含量的百分比?Р解:设时刻二氧化碳的浓度为,在时间间隔,浓度改变Р,两边积分可得:Р因为Р所以Р7.有一容积为500的水池,原有100的清水,现在每分钟放进2浓度为50%的某溶液,同时每分钟放出1溶液,试求当水池充满时池中溶液浓度。Р解:设时刻溶液中溶质的量为,在时间间隔,质量改变Р,这是一阶线性微分方程Р先解对应的齐次方程:,再解非齐次方程Р因为,当水池充满时,分钟,溶液浓度为Р8.某湖泊的水量为V,每年排入湖泊内含污染物A的污水量为,流入湖泊内不含污染物A的污水量为,流出湖泊的水量为,已知1999年底中湖中A的含量为,超过国家规定指标,为了治理污染,从2000年初起,限制排入湖泊中含A污水的浓度不超过,问至多需要经过多少年,湖泊中污染物A的含量才可降至以内。(设湖水中A的浓度是均匀的)。Р解:设从2000年初(令此时,)开始,第年湖泊中污染物A的总量为,浓度为,则在时间间隔上,排入湖泊中A的量近似为Р,,排出量为:,则在时间间隔上,的改变量为:,分离变量解方程:Р代入初始条件,,于是Р令,,即至多需要经过年,湖泊中污染物A的含量才可以降至以内。Р9.已知某车间的容积为,其中的空气含的二氧化碳,现以含二氧化碳的新鲜空气输入,问每分钟应输入多少,才能在分钟后使车间空气中二氧化碳的含量不超过,(假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀,且以相同流量排出)。
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