[精]历年全国高中数学联赛二试几何题汇总

C于G。Р求证:GAC = EAC Р解析证法:Р如图建立直角坐标系,令A(0,0),F(m,o) ,C(n,o),B(p,kp),m、n、p、k均为正数。则Р直线AB为y = kx。РxРyРAРB(p,kp)РD(q,-kq)РC(n,o)РGРEРF(m,o)Р由于AC平分BAD,则直线AD为y = - kx 。可设D(q, -kq),q>0Р于是,直线BC为y=(x - n) ,直线DF为y=(x - m) ,于是交点G为Р=( - n) =( - m) (1)Р = = =Р同理,直线CD为y=(x - n) ,直线BF为y=(x - m) ,于是交点E为Р=( - m) =( - n) (2)Р(直接对调m与n的位置得出计算结果)Р = = =Р故= - ,所以GAC = EACР1998联赛二试Р如图,O、I分别为ABC外心和内心,AD是BC边上的高,I在线段OD上,求证:ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。Р 注:ABC的BC边上的旁切圆是与边AB、AC的延长线以及边BC都相切的圆。Р纯几何证法:РBC边上的旁切圆半径:= Р2S = a*AD Р作IN⊥AB,垂足为N,则b+c – a = 2AN Р故=Р要证明=R,即证明: = Р连AI并延长交处接圆于K,连结KO、KB。则K、M分别为弧BC及弦BC的中点.且OK⊥BC.于是OK∥AD,又KI=KB,则Р = = = Р故只要证明: = ,亦即= Р而a = 2BM,故只要证明: = Р由于NAI=MBK=,ANI与BMK相似,所以上式成立。Р故=RР1997联赛二试Р证明:充分性。设S、N、T三点共线。在S、T所作的两公切线相交于K,则KS=KT,且K在圆和圆的根轴MN上。设ST交KO于D,由OS=OT及KS=KT有:。Р又,那么与相似,即有。Р又, 所以,即O、D、N、M四点共圆。Р故,即。