………20分Р- m』”Р 艺2”,1(2川~l)=艺2"一艺 2 I=n·2”一2 +lР m=I -- 111=1 Р … 40分Р ”Р由于有序集合对(X,Y)有(2”一1)·(2 -1)=(2 ”- 1)2个,于是满足maxX>min Y Р的有序集合对(X,门的数目是Р " 2 ” 2”Р (2一 1)-n·2+2"-1= 2 -2气n+1). …..· · 50· 分· · · Р 四、〈本题满分so分)给定整数α主2.证明:对任意正整数n,存在正整数Р k k Рk,使得连续n个数 a +l,a +2,…,旷+n均是合数.Р 证明:设 i,<与<…< i,是1,2,…,n中与α互素的全体整数, 则对1三i三二 n,Рi冒{i,,ι…,i,},无论正整数 k如何取值,旷+i均与。不互素且大于a,故旷+iР为合数. .................…·10分Р 对任意 j=1, 2,…,r,因α+ij>1, 故α+毛有素因子pj.Р a +Р 我们有(pj, )=l(否则,因 P;是素数,故 P;Iα,但P;Iα i;'从而Pjli;'Р故α,ij不互素,与ij的取法矛盾).因此,白费马小定理知,Р P 1Р α;-三 l(modP;). Р · ·..…· ·.. · ·· ·· · · · · Р 现取 k=(p, -l)( p2- 1)…(p,-1 )+ 1 . 30分Р 对任意 j=1, 2,…,r,注意到 k=l(mod ;…p1),故有Р k Р α+i,; =a+ i;= 0 (mod p) Р k kР又 a +i,;>α+ i;2 P ;’故a 十七为合数.Р 一一 k kР 综上所述,当 k=(p, l)(pz1)…(p,-1)+1时,a +1,旷+2,…,a 十n均是Р合数. ……·· · ·· 50分· · · · · · · · · ·
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