交点。Р利用这一思想,可用计算机作图来观察方程是Р否有实数根,有几个实根;若有实根,其实根所处的大致位置。下面我们用 matlab 来介绍几个实例。具体做法是:将函数与直线作在同一个图上,观察它们是否相交。Р【例1】判断方程在是否有根?Р解:利用MATLAB,作函数的图形Р从图形上可看出,函数在[-2,2]之间确有两个零点。其作图程序如下:Рx=-2:0.0005:2;Рy=x.^2+x-1;Рplot(x,y,'*')РholdРplot([-2,2],[0,0],'r')Рplot([0,0],[-2,5],'r')Р【例2】判断方程有几个实数根。Р解:利用MATLAB,作函数的图形Р从图形上可看出,函数在[-1,1]之间确有两个零点。其作图程序如下:Рx=-4:0.0005:4;Рy=exp(-x.^2)-0.5;Рplot(x,y,'*')РholdРplot([-4,4],[0,0],'r')Рplot([0,0],[-0.5,0.5],'r')Р【定理4】( 介值定理) 设函数在闭区间上连续,且在这区间的端点取不同的函数值及,那末,对于与之间的任意一个数,在开区间内至少有一点,使得Р这定理的几何意义是:Р连续曲线弧与水平直线至少相交于一点。Р证明:设, 则在闭区间上连续,且Р 与Р异号。据零点定理,开区间内至少有一点使得Р但,因此由上式即得Р【推论】闭区间上的连续函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值。Р【例4】试证明有且只有一个实根。Р证明:设,它是在上连续的初等函数。Р而同理Р利用函数的保号性:必存在两个充分大的正数使得Р在闭区间上利用零点定理,至少存在一点,使得Р即:方程至少有一个实根。Р(下面来证明,函数的零点是唯一的)Р假设函数存在两个互异的零点,则有于是有Р而,故Р另一方面Р产生矛盾。故:只有唯一零点,方程只有唯一实根。Р教Р学Р后Р记
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