“服务意识”不仅可以避开复杂的计算,往往也为解题思路指明了方向.下面再看一例:Р例6(2013年高考辽宁卷理科21题)已知函数Р 当时,Р(I)证明: ;Р(II)确定的所有可能取值,使得恒成立Р证明:(I)证明:要证时,只需证明.Р记,则.当时,,Р因此在上是增函数,故.所以,.Р要证时, ,只需证明.Р综上,Р(II)解:Р.Р 设,则.记,Р则.当时,,于是在上是减函数,Р从而当时,,故在上是减函数.Р于是,从而.Р所以,当时, 在上恒成立.Р下面证明,当时, 在上不恒成立.Р Р ,Р记,则,当时,,故在上是减函数,于是在上的值域.Р因为当时,,所以存在,使得,此时Р,Р即在上不恒成立.Р 综上,实数的取值范围是.Р 评注:本题第二问是一道典型的恒成立求参问题,这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法,但分离参数后利用高中所学知识无法解决(笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后,出现了“型”的式子,解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则);若直接构造函数,里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数,处理起来难度很大.本题解法中两次巧妙利用第一问的结论,通过分类讨论和假设反正,使问题得到解决.Р上述几道导数不等式都不是考查某个单一的初等函数,而是综合考查指数函数、对数函数(尤其与“”和“”有关)、三角函数以及带根号的幂函数和其它函数综合在一起,如果直接求导或求函数零点较为困难,而通过上述放缩法处理,或化动为静或化曲为直或化繁为简或借水行舟,其实就是将这些难以处理的函数转化为较为简单的函数进行处理.由于放缩的尺度不好把握,因而放缩法是一种较难的解题技巧,在学习过程中要善于总结,积累一些常用的函数不等式和解题模式.Р参考文献Р苏明亮.两个重要不等式及其在高考中的应用.高中数学教与学.2014(12).Р2.苏明亮.合理构造函数巧解导数难题.数学通讯.2015(6).
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