放缩法在初中数学竞赛中的应用

Р 解∵ 28(x + y + z) < 28x + 30y + 31z < 31(x + y + z),Р ∴ 28(x + y + z) < 364 < 31(x + y + z).Р 解得:11 < x + y + z < 13.Р ∵ x,y,z都是正整数,∴ x + y + z = 12.Р 通过以上的问题的解决,不但拓宽了学生的解题思路,而且培养了学生的整体思想意识. 以上问题还可以做如下的变式训练:Р 变式训练1 若自然数x < y < z,a为整数,求方程= a的自然数解.Р 变式训练2 从1开始,写出一组连续的正整数,然后擦去一个数,其余的平均数为35,求擦去的数是多少.Р 四、放缩法在完全平方数问题中的应用Р 例5 求使得m2 + m + 7是完全平方数的所有正整数m的值.Р 解(1)当m ≥ 7时,m + 7 ≤ 2m,Р 于是m2 < m2 + m + 7 ≤ m2 + 2m < (m + 1)2.Р 此时,m2 + m + 7介于两个连续整数的平方之间,不是完全平方数. Р (2)当1 ≤ m < 7时,m = 1,2,3,4,5,6,经检验,只有当m = 1和6时,m2 + m + 7才是完全平方数,故m = 1或6. Р 通过以上问题的解决,不但学生掌握了判断一个正整数是否为完全平方数的方法,而且培养了学生的分类讨论的数学思想. 上面的问题还可以做这样的变式训练:Р 变式训练求使得m2 + m + 7是完全平方数的所有整数m的积. Р 通过以上四个方面问题的探讨,并根据中学数学课标中指出“要培养学生分析问题和解决问题的能力”,同时要注意数学思想方法的运用和创新意识的培养,因此,要把培养学生的“应用数学意识”落实到初中数学竞赛的教学中去,使学生了解数学在各方面的广泛应用,从而提高学生对数学竞赛学习的兴趣,并逐步形成应用数学的良好习惯. Р Р 【