判断抽象函数单调性的四种策略

x+y)=f(x)+f(y)得Р f(x2)-f(x1)=f(x1+δ)-f(x1)=f(x1)+f(δ)-f(x1)=f(δ)Р ∵δ>0,∴f(δ)>0,Р 即f(x2)>f(x1),因此f(x)为增函数。Р例6 设函数f(x)的定义域为R,当x>0时,f(x)>1,且对任意的x、y,均有f(x+y)=f(x)f(y)成立。试判断函数f(x)的单调性并说明理由。Р解:对任意的x1、x2,设x1<x2,且x2=x1+δ(δ>0),Р 则f(x2)-f(x1)=f(x1+δ)-f(x1)=f(x1)f(δ)-f(x1)=[f(δ)-1]f(x1)Р ∵当x>0时,f(x)>1,∴f(δ)-1>0Р 下面判断f(x1)的符号:Р ∵∴Р 若存在使f(x0)=0,则对任意的x,f(x)=f[(x-x0)+x0]=f(x-x0)f(x0)=0,这与题设条件矛盾。因此,即Р 这样,f(x2)-f(x1) >0,所以f(x)为增函数。Р4 放缩策略Р结合添项策略,利用放缩法,判断f(x1)与f(x2)的大小关系,从而得f(x)的单调性。Р例7(题同例6)Р解:设x1<x2,则x2-x1>0,Р ∵当x>0时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>0,Р∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)f(x1)>f(x1)(由上题知f(x1)>0)Р 即f(x)为增函数。Р例8 已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),对任意正实数x、y均有f(xy)=f(x)f(y),且当x>1时0<f(x)<1,判断函数f(x)的单调性并说明理由。Р解:设0<x1<x2,则Р ∵当x>1时0<f(x)<1,∴Р 又由f(xy)=f(x)f(y)中令x>1,y=1得f(1)=1Р 当0<x<1时,,由易知此时f(x)>1,Р这样,f(x)>0恒成立。Р∴Р即f(x)在(0,+∞)上单调递减函数。