中连续.Р 将S任意分成部分的面积仍记为,在上任取一点,易知流体通过指定侧的流量近似为Р 其中是定测曲面S的单位法线矢量,而,故通过S指定的侧的流量近似地为Р,Р而流量Р,Р第二类曲面积分与曲面的法线方向有关,若把定侧曲面的一侧记为,另一侧记为,则积分的数值正好改变一个符号,即Р.Р其中被积式中的分别是曲面S对应一侧的单位法线矢量.Р 与第二类曲线积分类似,称为有向面积元素,常将它记成. 它的三个投影分别记为Р于是第二类曲面积分(3.1)可以写成如下形式:Р=Р例:∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy,其中S是坐标平面和x+y+z=1 所为四面体表面的外侧?Р由于轮换对称性,对三个坐标平面上的积分面的第二类曲面积分值相等,不妨取左侧面对该积分计算:由于该面上的单位法向量为n=(0,-1,0) 带入积分有∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy= -∫∫yzdS 其中РdS=dzdx 所以∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy= -∫∫yzdzdx,化为二重积分,积分面为左侧面,带入y=0,Р∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy= -∫∫yzdzdx=0Р再计算x+y+z=1面上的积分,由于轮换对称性,在该积分面上∫∫xydydz=∫∫yzdzdx=∫∫xzdxdy,则Р∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy=3∫∫xzdxdy 由于定向为正向,则由1-x-y=z带入得二重积分3∫∫xzdxdy=Р3∫∫x(1-x-y)dxdy 积分面为xy坐标面上的0≤x≤1 0≤y≤1-x 最终计算值为1/8Р总结:Р以上便是我们小组对此课题的研究与讨论结果,通过此次的学习讨论,我们对这部分知识有了更深层次的理解与感悟,有助于我们更好的掌握这部分知识,并且更加熟练的运用,希望老师看完后,给予一定的建议,来督促我们以后课题的研究与讨论,谢谢。
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